Probabilidad y Estadística: Soluciones Problemas Tema 1

Problema PR1.1

Sea el experimento ϵ: “Lanzamiento de un dado y observación del número obtenido” y sean los sucesos A: “Sale un 1”, B: “Sale un número mayor o igual que 3” y C: “Sale un número impar”.

1. Indica el espacio muestral del experimento.
2. ¿Son los sucesos A y B disjuntos? ¿Y los sucesos A y C?
3. Determina:
   • BCB^CBC
   • A∪(B∩C)A \cup (B \cap C)A∪(B∩C)
   • (A∪B∪C)C(A \cup B \cup C)^C(A∪B∪C)C y (A∩B∩C)C(A \cap B \cap C)^C(A∩B∩C)C

Solución:

1. Espacio muestral: El espacio muestral es el conjunto que contiene todos los resultados posibles del experimento.Ω={1,2,3,4,5,6}\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}Ω={1,2,3,4,5,6}
2. Sucesos disjuntos: Dos sucesos son disjuntos si no tienen ningún elemento en común, es decir, si su intersección es el suceso imposible.
   • A∩B={1}∩{3,4,5,6}=∅A \cap B = \{1\} \cap \{3, 4, 5, 6\} = \emptysetA∩B={1}∩{3,4,5,6}=∅ (A y B son disjuntos)
   • A∩C={1}∩{1,3,5}={1}A \cap C = \{1\} \cap \{1, 3, 5\} = \{1\}A∩C={1}∩{1,3,5}={1} (A y C no son disjuntos)
3. Cálculos:
   • BCB^CBC: El complementario de un suceso B contiene aquellos elementos del espacio muestral no incluidos en B. BC={3,4,5,6}C={1,2}B^C = \{3, 4, 5, 6\}^C = \{1, 2\}BC={3,4,5,6}C={1,2}
   • A∪(B∩C)A \cup (B \cap C)A∪(B∩C): Podemos calcular directamente en el orden que indican los paréntesis. A∪(B∩C)={1}∪({3,4,5,6}∩{1,3,5})={1}∪{3,5}={1,3,5}=CA \cup (B \cap C) = \{1\} \cup (\{3, 4, 5, 6\} \cap \{1, 3, 5\}) = \{1\} \cup \{3, 5\} = \{1, 3, 5\} = CA∪(B∩C)={1}∪({3,4,5,6}∩{1,3,5})={1}∪{3,5}={1,3,5}=C
   • (A∪B∪C)C(A \cup B \cup C)^C(A∪B∪C)C y (A∩B∩C)C(A \cap B \cap C)^C(A∩B∩C)C: (A∪B∪C)C=({1}∪{3,4,5,6}∪{1,3,5})C={1,3,4,5,6}C={2}(A \cup B \cup C)^C = (\{1\} \cup \{3, 4, 5, 6\} \cup \{1, 3, 5\})^C = \{1, 3, 4, 5, 6\}^C = \{2\}(A∪B∪C)C=({1}∪{3,4,5,6}∪{1,3,5})C={1,3,4,5,6}C={2} (A∩B∩C)C=({1}∩{3,4,5,6}∩{1,3,5})C=∅C=Ω(A \cap B \cap C)^C = (\{1\} \cap \{3, 4, 5, 6\} \cap \{1, 3, 5\})^C = \emptyset^C = \Omega(A∩B∩C)C=({1}∩{3,4,5,6}∩{1,3,5})C=∅C=Ω

Problema PR1.2

En un centro universitario se imparte una titulación de grado con 4 cursos. Hay, además, alumnado de postgrado. Por otra parte, la matrícula se rige por las siguientes normas:

• La matrícula puede contener materias con una separación máxima de dos cursos.
• El alumnado de postgrado no puede tener materias de grado.

Se diseña el siguiente experimento: tomar a un alumno al azar y comprobar de qué cursos está matriculado. Se definen los siguientes sucesos:

• A: “Estar matriculado en materias de 1.er curso”
• B: “Estar matriculado en materias de 2.o curso”
• C: “Estar matriculado en materias de 3.er curso”
• D: “Estar matriculado en materias de 4.o curso”

Expresa, en términos de A, B, C y D, los sucesos: “Estar matriculado en…”

• E: “… cualquier cosa salvo 4.o curso”
• F: “… 4.o exclusivamente”
• G: “… algún curso de grado”
• H: “… postgrado”
• L: “… 3.o y no en 1.o”

Solución:

• E=A∪B∪CE = A \cup B \cup CE=A∪B∪C
• F=D∩BC∩CCF = D \cap B^C \cap C^CF=D∩BC∩CC
• G=A∪B∪C∪DG = A \cup B \cup C \cup DG=A∪B∪C∪D
• H=(A∪B∪C∪D)CH = (A \cup B \cup C \cup D)^CH=(A∪B∪C∪D)C
• L=C∩ACL = C \cap A^CL=C∩AC

Problema PR1.4

Después de lanzar un dado 1000 veces, hemos observado los siguientes resultados:

Valor	1	2	3	4	5	6
Frecuencia	200	150	150	140	200	160

Aproxima, mediante frecuencia relativa, la probabilidad de los siguientes sucesos:

1. A = “Sale un 3”
2. B = “Sale un número mayor que 3”
3. C = “Sale un número impar”

Solución:

La aproximación frecuencial de la probabilidad se calcula dividiendo el número de veces que ha ocurrido el suceso de interés entre el número de repeticiones del experimento.

1. P(A)≈fr(A)=Nuˊmero de veces que ocurre ANuˊmero de repeticiones=1501000=0.150P(A) \approx \text{fr}(A) = \frac{\text{Número de veces que ocurre A}}{\text{Número de repeticiones}} = \frac{150}{1000} = 0.150P(A)≈fr(A)=Nuˊmero de repeticionesNuˊmero de veces que ocurre A​=1000150​=0.150
2. P(B)≈fr(B)=Nuˊmero de veces que ocurre BNuˊmero de repeticiones=140+200+1601000=0.500P(B) \approx \text{fr}(B) = \frac{\text{Número de veces que ocurre B}}{\text{Número de repeticiones}} = \frac{140 + 200 + 160}{1000} = 0.500P(B)≈fr(B)=Nuˊmero de repeticionesNuˊmero de veces que ocurre B​=1000140+200+160​=0.500
3. P(C)≈fr(C)=Nuˊmero de veces que ocurre CNuˊmero de repeticiones=200+150+2001000=0.550P(C) \approx \text{fr}(C) = \frac{\text{Número de veces que ocurre C}}{\text{Número de repeticiones}} = \frac{200 + 150 + 200}{1000} = 0.550P(C)≈fr(C)=Nuˊmero de repeticionesNuˊmero de veces que ocurre C​=1000200+150+200​=0.550

Problema PR1.5

En un supermercado se venden únicamente dos marcas de galletas: A y B. La probabilidad de que un cliente cualquiera compre galletas es de 0.50, siendo 0.40 y 0.30 las probabilidades de que compre galletas de la marca A o B, respectivamente. Determina la probabilidad de que un cliente compre ambas marcas de galletas.

Solución:

Sean los sucesos A: “Compra galletas de la marca A” y B: “Compra galletas de la marca B”. Nos dicen en el enunciado que P(A)=0.40P(A) = 0.40P(A)=0.40, P(B)=0.30P(B) = 0.30P(B)=0.30 y P(A∪B)=0.50P(A \cup B) = 0.50P(A∪B)=0.50.

Para determinar P(A∩B)P(A \cap B)P(A∩B), utilizamos la fórmula de la unión de dos sucesos:P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)

Despejando P(A∩B)P(A \cap B)P(A∩B):P(A∩B)=P(A)+P(B)−P(A∪B)=0.40+0.30−0.50=0.20P(A \cap B) = P(A) + P(B) – P(A \cup B) = 0.40 + 0.30 – 0.50 = 0.20P(A∩B)=P(A)+P(B)−P(A∪B)=0.40+0.30−0.50=0.20

Para otros problemas y más detalles, por favor, especifica si deseas algún problema en particular o si necesitas más información de los problemas propuestos.

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He desarrollado varios problemas, pero no todos. A continuación, te proporcionaré el desarrollo de los problemas restantes del documento.

Problema PR1.6

En el sorteo de la lotería primitiva se obtienen, equiprobablemente y sin reemplazamiento, seis números entre el 1 y el 49, ambos inclusive.

a) Sean los sucesos A = “La primera bola extraída es mayor o igual que 32” y B = “La primera bola extraída es un número par”. Determina P(A/B)P(A / B)P(A/B).

b) Sea el suceso G = “Acertar los seis números con una sola apuesta”. Obtén P(G)P(G)P(G).

Solución:

a) Calculamos las probabilidades de los sucesos A y B:

• P(A)=1749P(A) = \frac{17}{49}P(A)=4917​ (ya que hay 17 números mayores o iguales que 32)
• P(B)=2449P(B) = \frac{24}{49}P(B)=4924​ (ya que hay 24 números pares entre 1 y 48)

Para encontrar P(A/B)P(A / B)P(A/B):P(A/B)=P(A∩B)P(B)=9492449=924=38P(A / B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{9}{49}}{\frac{24}{49}} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}P(A/B)=P(B)P(A∩B)​=4924​499​​=249​=83​

b) Para el suceso G, utilizamos la regla del producto:P(G)=649×548×447×346×245×144=113,983,816P(G) = \frac{6}{49} \times \frac{5}{48} \times \frac{4}{47} \times \frac{3}{46} \times \frac{2}{45} \times \frac{1}{44} = \frac{1}{13,983,816}P(G)=496​×485​×474​×463​×452​×441​=13,983,8161​

He desarrollado varios problemas, pero no todos. A continuación, te proporcionaré el desarrollo de los problemas restantes del documento.

Problema PR1.6

En el sorteo de la lotería primitiva se obtienen, equiprobablemente y sin reemplazamiento, seis números entre el 1 y el 49, ambos inclusive.

a) Sean los sucesos A = “La primera bola extraída es mayor o igual que 32” y B = “La primera bola extraída es un número par”. Determina (P(A / B)).

b) Sea el suceso G = “Acertar los seis números con una sola apuesta”. Obtén (P(G)).

Solución:

a) Calculamos las probabilidades de los sucesos A y B:

• ( P(A) = \frac{17}{49} ) (ya que hay 17 números mayores o iguales que 32)
• ( P(B) = \frac{24}{49} ) (ya que hay 24 números pares entre 1 y 48)

Para encontrar ( P(A / B) ):

[
P(A / B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{9}{49}}{\frac{24}{49}} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}
]

b) Para el suceso G, utilizamos la regla del producto:

[
P(G) = \frac{6}{49} \times \frac{5}{48} \times \frac{4}{47} \times \frac{3}{46} \times \frac{2}{45} \times \frac{1}{44} = \frac{1}{13,983,816}
]

Problema PR1.7

Tenemos una caja con cinco bolas blancas y tres bolas negras. Extraemos tres bolas seguidas.

a) Supón que las extracciones se hacen sin reposición.
b) Supón que las extracciones se hacen con reposición.

Solución:

Definimos los sucesos ( B_i ) como «en la extracción ( i )-ésima se obtiene una bola blanca».

a) Sin reposición:

[
P(B_1 \cap B_2 \cap B_3) = P(B_1) \times P(B_2 / B_1) \times P(B_3 / B_1 \cap B_2) = \frac{5}{8} \times \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} = \frac{5}{28}
]

b) Con reposición:

[
P(B_1 \cap B_2 \cap B_3) = P(B_1) \times P(B_2) \times P(B_3) = \left(\frac{5}{8}\right)^3 = \frac{125}{512}
]

Problema PR1.8

Un jugador tiene dos dados. El primero de ellos funciona correctamente. El segundo dado está trucado y siempre proporciona un número par. En una partida, el jugador coge uno de los dados al azar, lo lanza, y obtiene como resultado 2. ¿Cuál es la probabilidad de que haya utilizado el dado trucado?

Solución:

Definimos los sucesos:

• ( A ): «El resultado es 2».
• ( D_1 ): «Se utiliza el primer dado».
• ( D_2 ): «Se utiliza el segundo dado».

Usamos el teorema de Bayes:

[
P(D_2 / A) = \frac{P(A / D_2) \cdot P(D_2)}{P(A / D_1) \cdot P(D_1) + P(A / D_2) \cdot P(D_2)}
]

[
P(D_2 / A) = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{12} + \frac{1}{6}} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{4}} = \frac{2}{3}
]

Problema PR1.9

Tenemos dos cajas. La primera contiene dos bolas blancas, una bola negra y una bola roja. La segunda caja contiene dos bolas negras y tres bolas rojas. Se lanza un dado. Si el resultado obtenido es menor o igual que cuatro se cogen al azar dos bolas de la primera caja, si el resultado obtenido es superior a cuatro se cogen al azar dos bolas de la segunda caja. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una bola negra y una bola roja?

Solución:

Definimos los sucesos:

• ( C_i ): «Se elige la caja ( i )-ésima».

Las probabilidades son:

• ( P(C_1) = \frac{2}{3} )
• ( P(C_2) = \frac{1}{3} )

Calculamos las probabilidades condicionadas:

[
P(N \cap R / C_1) = P(N_1 \cap R_2 / C_1) + P(R_1 \cap N_2 / C_1) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}
]

[
P(N \cap R / C_2) = P(N_1 \cap R_2 / C_2) + P(R_1 \cap N_2 / C_2) = \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} + \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{3}{5}
]

Finalmente:

[
P(N \cap R) = \frac{1}{6} \times \frac{2}{3} + \frac{3}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{14}{45}
]

Problema PR1.10

En un sistema de transmisión binario se pueden transmitir, con igual probabilidad, ceros o unos. Debido a las imperfecciones del canal, pueden producirse errores de transmisión. Las probabilidades asociadas a las distintas situaciones se recogen en el esquema adjunto. El experimento consiste en enviar un bit y observar la pareja (bit enviado, bit recibido).

Se definen los sucesos:

• ( T_0 ): «Se transmite un cero».
• ( R_0 ): «Se recibe un cero».
• ( E ): «Se produce un error en la transmisión».

a) ¿Cuál es la probabilidad del suceso ( R_0 )?
b) ¿Cuál es la probabilidad del suceso ( E )?
c) Sabiendo que ocurre ( R_0 ), ¿cuál es la probabilidad del suceso ( T_0 )?
d) Sabiendo que ocurre ( R_0 ), ¿cuál es la probabilidad del suceso ( E )?

Solución:

a) Aplicamos el teorema de las probabilidades totales:

[
P(R_0) = P(R_0 / T_0) \cdot P(T_0) + P(R_0 / T_1) \cdot P(T_1) = 0.8 \cdot 0.5 + 0.1 \cdot 0.5 = 0.45
]

b) Aplicamos el teorema de las probabilidades totales para ( E ):

[
P(E) = P(E / T_0) \cdot P(T_0) + P(E / T_1) \cdot P(T_1) = P(R_1 / T_0) \cdot P(T_0) + P(R_0 / T_1) \cdot P(T_1) = 0.2 \cdot 0.5 + 0.1 \cdot 0.5 = 0.15
]

c) Aplicamos el teorema de Bayes:

[
P(T_0 / R_0) = \frac{P(R_0 / T_0) \cdot P(T_0)}{P(R_0)} = \frac{0.8 \cdot 0.5}{0.45} = \frac{8}{9}
]

d) Conociendo ( R_0 ), el error se producirá si se transmitió 1:

[
P(E / R_0) = P(T_1 / R_0) = 1 – P(T_0 / R_0) = 1 – \frac{8}{9} = \frac{1}{9} \approx 0.1111
]

Si necesitas más detalles sobre algún problema específico, no dudes en indicarlo.