Problema PR1.1
Sea el experimento ϵ: “Lanzamiento de un dado y observación del número obtenido” y sean los sucesos A: “Sale un 1”, B: “Sale un número mayor o igual que 3” y C: “Sale un número impar”.
- Indica el espacio muestral del experimento.
- ¿Son los sucesos A y B disjuntos? ¿Y los sucesos A y C?
- Determina:
- BCB^CBC
- A∪(B∩C)A \cup (B \cap C)A∪(B∩C)
- (A∪B∪C)C(A \cup B \cup C)^C(A∪B∪C)C y (A∩B∩C)C(A \cap B \cap C)^C(A∩B∩C)C
Solución:
- Espacio muestral: El espacio muestral es el conjunto que contiene todos los resultados posibles del experimento.Ω={1,2,3,4,5,6}\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}Ω={1,2,3,4,5,6}
- Sucesos disjuntos: Dos sucesos son disjuntos si no tienen ningún elemento en común, es decir, si su intersección es el suceso imposible.
- A∩B={1}∩{3,4,5,6}=∅A \cap B = \{1\} \cap \{3, 4, 5, 6\} = \emptysetA∩B={1}∩{3,4,5,6}=∅ (A y B son disjuntos)
- A∩C={1}∩{1,3,5}={1}A \cap C = \{1\} \cap \{1, 3, 5\} = \{1\}A∩C={1}∩{1,3,5}={1} (A y C no son disjuntos)
- Cálculos:
- BCB^CBC: El complementario de un suceso B contiene aquellos elementos del espacio muestral no incluidos en B. BC={3,4,5,6}C={1,2}B^C = \{3, 4, 5, 6\}^C = \{1, 2\}BC={3,4,5,6}C={1,2}
- A∪(B∩C)A \cup (B \cap C)A∪(B∩C): Podemos calcular directamente en el orden que indican los paréntesis. A∪(B∩C)={1}∪({3,4,5,6}∩{1,3,5})={1}∪{3,5}={1,3,5}=CA \cup (B \cap C) = \{1\} \cup (\{3, 4, 5, 6\} \cap \{1, 3, 5\}) = \{1\} \cup \{3, 5\} = \{1, 3, 5\} = CA∪(B∩C)={1}∪({3,4,5,6}∩{1,3,5})={1}∪{3,5}={1,3,5}=C
- (A∪B∪C)C(A \cup B \cup C)^C(A∪B∪C)C y (A∩B∩C)C(A \cap B \cap C)^C(A∩B∩C)C: (A∪B∪C)C=({1}∪{3,4,5,6}∪{1,3,5})C={1,3,4,5,6}C={2}(A \cup B \cup C)^C = (\{1\} \cup \{3, 4, 5, 6\} \cup \{1, 3, 5\})^C = \{1, 3, 4, 5, 6\}^C = \{2\}(A∪B∪C)C=({1}∪{3,4,5,6}∪{1,3,5})C={1,3,4,5,6}C={2} (A∩B∩C)C=({1}∩{3,4,5,6}∩{1,3,5})C=∅C=Ω(A \cap B \cap C)^C = (\{1\} \cap \{3, 4, 5, 6\} \cap \{1, 3, 5\})^C = \emptyset^C = \Omega(A∩B∩C)C=({1}∩{3,4,5,6}∩{1,3,5})C=∅C=Ω
Problema PR1.2
En un centro universitario se imparte una titulación de grado con 4 cursos. Hay, además, alumnado de postgrado. Por otra parte, la matrícula se rige por las siguientes normas:
- La matrícula puede contener materias con una separación máxima de dos cursos.
- El alumnado de postgrado no puede tener materias de grado.
Se diseña el siguiente experimento: tomar a un alumno al azar y comprobar de qué cursos está matriculado. Se definen los siguientes sucesos:
- A: “Estar matriculado en materias de 1.er curso”
- B: “Estar matriculado en materias de 2.o curso”
- C: “Estar matriculado en materias de 3.er curso”
- D: “Estar matriculado en materias de 4.o curso”
Expresa, en términos de A, B, C y D, los sucesos: “Estar matriculado en…”
- E: “… cualquier cosa salvo 4.o curso”
- F: “… 4.o exclusivamente”
- G: “… algún curso de grado”
- H: “… postgrado”
- L: “… 3.o y no en 1.o”
Solución:
- E=A∪B∪CE = A \cup B \cup CE=A∪B∪C
- F=D∩BC∩CCF = D \cap B^C \cap C^CF=D∩BC∩CC
- G=A∪B∪C∪DG = A \cup B \cup C \cup DG=A∪B∪C∪D
- H=(A∪B∪C∪D)CH = (A \cup B \cup C \cup D)^CH=(A∪B∪C∪D)C
- L=C∩ACL = C \cap A^CL=C∩AC
Problema PR1.4
Después de lanzar un dado 1000 veces, hemos observado los siguientes resultados:
Valor | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
---|---|---|---|---|---|---|
Frecuencia | 200 | 150 | 150 | 140 | 200 | 160 |
Aproxima, mediante frecuencia relativa, la probabilidad de los siguientes sucesos:
- A = “Sale un 3”
- B = “Sale un número mayor que 3”
- C = “Sale un número impar”
Solución:
La aproximación frecuencial de la probabilidad se calcula dividiendo el número de veces que ha ocurrido el suceso de interés entre el número de repeticiones del experimento.
- P(A)≈fr(A)=Nuˊmero de veces que ocurre ANuˊmero de repeticiones=1501000=0.150P(A) \approx \text{fr}(A) = \frac{\text{Número de veces que ocurre A}}{\text{Número de repeticiones}} = \frac{150}{1000} = 0.150P(A)≈fr(A)=Nuˊmero de repeticionesNuˊmero de veces que ocurre A=1000150=0.150
- P(B)≈fr(B)=Nuˊmero de veces que ocurre BNuˊmero de repeticiones=140+200+1601000=0.500P(B) \approx \text{fr}(B) = \frac{\text{Número de veces que ocurre B}}{\text{Número de repeticiones}} = \frac{140 + 200 + 160}{1000} = 0.500P(B)≈fr(B)=Nuˊmero de repeticionesNuˊmero de veces que ocurre B=1000140+200+160=0.500
- P(C)≈fr(C)=Nuˊmero de veces que ocurre CNuˊmero de repeticiones=200+150+2001000=0.550P(C) \approx \text{fr}(C) = \frac{\text{Número de veces que ocurre C}}{\text{Número de repeticiones}} = \frac{200 + 150 + 200}{1000} = 0.550P(C)≈fr(C)=Nuˊmero de repeticionesNuˊmero de veces que ocurre C=1000200+150+200=0.550
Problema PR1.5
En un supermercado se venden únicamente dos marcas de galletas: A y B. La probabilidad de que un cliente cualquiera compre galletas es de 0.50, siendo 0.40 y 0.30 las probabilidades de que compre galletas de la marca A o B, respectivamente. Determina la probabilidad de que un cliente compre ambas marcas de galletas.
Solución:
Sean los sucesos A: “Compra galletas de la marca A” y B: “Compra galletas de la marca B”. Nos dicen en el enunciado que P(A)=0.40P(A) = 0.40P(A)=0.40, P(B)=0.30P(B) = 0.30P(B)=0.30 y P(A∪B)=0.50P(A \cup B) = 0.50P(A∪B)=0.50.
Para determinar P(A∩B)P(A \cap B)P(A∩B), utilizamos la fórmula de la unión de dos sucesos:P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
Despejando P(A∩B)P(A \cap B)P(A∩B):P(A∩B)=P(A)+P(B)−P(A∪B)=0.40+0.30−0.50=0.20P(A \cap B) = P(A) + P(B) – P(A \cup B) = 0.40 + 0.30 – 0.50 = 0.20P(A∩B)=P(A)+P(B)−P(A∪B)=0.40+0.30−0.50=0.20
Para otros problemas y más detalles, por favor, especifica si deseas algún problema en particular o si necesitas más información de los problemas propuestos.
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He desarrollado varios problemas, pero no todos. A continuación, te proporcionaré el desarrollo de los problemas restantes del documento.
Problema PR1.6
En el sorteo de la lotería primitiva se obtienen, equiprobablemente y sin reemplazamiento, seis números entre el 1 y el 49, ambos inclusive.
a) Sean los sucesos A = “La primera bola extraída es mayor o igual que 32” y B = “La primera bola extraída es un número par”. Determina P(A/B)P(A / B)P(A/B).
b) Sea el suceso G = “Acertar los seis números con una sola apuesta”. Obtén P(G)P(G)P(G).
Solución:
a) Calculamos las probabilidades de los sucesos A y B:
- P(A)=1749P(A) = \frac{17}{49}P(A)=4917 (ya que hay 17 números mayores o iguales que 32)
- P(B)=2449P(B) = \frac{24}{49}P(B)=4924 (ya que hay 24 números pares entre 1 y 48)
Para encontrar P(A/B)P(A / B)P(A/B):P(A/B)=P(A∩B)P(B)=9492449=924=38P(A / B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{9}{49}}{\frac{24}{49}} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}P(A/B)=P(B)P(A∩B)=4924499=249=83
b) Para el suceso G, utilizamos la regla del producto:P(G)=649×548×447×346×245×144=113,983,816P(G) = \frac{6}{49} \times \frac{5}{48} \times \frac{4}{47} \times \frac{3}{46} \times \frac{2}{45} \times \frac{1}{44} = \frac{1}{13,983,816}P(G)=496×485×474×463×452×441=13,983,8161
He desarrollado varios problemas, pero no todos. A continuación, te proporcionaré el desarrollo de los problemas restantes del documento.
Problema PR1.6
En el sorteo de la lotería primitiva se obtienen, equiprobablemente y sin reemplazamiento, seis números entre el 1 y el 49, ambos inclusive.
a) Sean los sucesos A = “La primera bola extraída es mayor o igual que 32” y B = “La primera bola extraída es un número par”. Determina (P(A / B)).
b) Sea el suceso G = “Acertar los seis números con una sola apuesta”. Obtén (P(G)).
Solución:
a) Calculamos las probabilidades de los sucesos A y B:
- ( P(A) = \frac{17}{49} ) (ya que hay 17 números mayores o iguales que 32)
- ( P(B) = \frac{24}{49} ) (ya que hay 24 números pares entre 1 y 48)
Para encontrar ( P(A / B) ):
[
P(A / B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{9}{49}}{\frac{24}{49}} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}
]
b) Para el suceso G, utilizamos la regla del producto:
[
P(G) = \frac{6}{49} \times \frac{5}{48} \times \frac{4}{47} \times \frac{3}{46} \times \frac{2}{45} \times \frac{1}{44} = \frac{1}{13,983,816}
]
Problema PR1.7
Tenemos una caja con cinco bolas blancas y tres bolas negras. Extraemos tres bolas seguidas.
a) Supón que las extracciones se hacen sin reposición.
b) Supón que las extracciones se hacen con reposición.
Solución:
Definimos los sucesos ( B_i ) como «en la extracción ( i )-ésima se obtiene una bola blanca».
a) Sin reposición:
[
P(B_1 \cap B_2 \cap B_3) = P(B_1) \times P(B_2 / B_1) \times P(B_3 / B_1 \cap B_2) = \frac{5}{8} \times \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} = \frac{5}{28}
]
b) Con reposición:
[
P(B_1 \cap B_2 \cap B_3) = P(B_1) \times P(B_2) \times P(B_3) = \left(\frac{5}{8}\right)^3 = \frac{125}{512}
]
Problema PR1.8
Un jugador tiene dos dados. El primero de ellos funciona correctamente. El segundo dado está trucado y siempre proporciona un número par. En una partida, el jugador coge uno de los dados al azar, lo lanza, y obtiene como resultado 2. ¿Cuál es la probabilidad de que haya utilizado el dado trucado?
Solución:
Definimos los sucesos:
- ( A ): «El resultado es 2».
- ( D_1 ): «Se utiliza el primer dado».
- ( D_2 ): «Se utiliza el segundo dado».
Usamos el teorema de Bayes:
[
P(D_2 / A) = \frac{P(A / D_2) \cdot P(D_2)}{P(A / D_1) \cdot P(D_1) + P(A / D_2) \cdot P(D_2)}
]
[
P(D_2 / A) = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{12} + \frac{1}{6}} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{4}} = \frac{2}{3}
]
Problema PR1.9
Tenemos dos cajas. La primera contiene dos bolas blancas, una bola negra y una bola roja. La segunda caja contiene dos bolas negras y tres bolas rojas. Se lanza un dado. Si el resultado obtenido es menor o igual que cuatro se cogen al azar dos bolas de la primera caja, si el resultado obtenido es superior a cuatro se cogen al azar dos bolas de la segunda caja. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una bola negra y una bola roja?
Solución:
Definimos los sucesos:
- ( C_i ): «Se elige la caja ( i )-ésima».
Las probabilidades son:
- ( P(C_1) = \frac{2}{3} )
- ( P(C_2) = \frac{1}{3} )
Calculamos las probabilidades condicionadas:
[
P(N \cap R / C_1) = P(N_1 \cap R_2 / C_1) + P(R_1 \cap N_2 / C_1) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}
]
[
P(N \cap R / C_2) = P(N_1 \cap R_2 / C_2) + P(R_1 \cap N_2 / C_2) = \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} + \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{3}{5}
]
Finalmente:
[
P(N \cap R) = \frac{1}{6} \times \frac{2}{3} + \frac{3}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{14}{45}
]
Problema PR1.10
En un sistema de transmisión binario se pueden transmitir, con igual probabilidad, ceros o unos. Debido a las imperfecciones del canal, pueden producirse errores de transmisión. Las probabilidades asociadas a las distintas situaciones se recogen en el esquema adjunto. El experimento consiste en enviar un bit y observar la pareja (bit enviado, bit recibido).
Se definen los sucesos:
- ( T_0 ): «Se transmite un cero».
- ( R_0 ): «Se recibe un cero».
- ( E ): «Se produce un error en la transmisión».
a) ¿Cuál es la probabilidad del suceso ( R_0 )?
b) ¿Cuál es la probabilidad del suceso ( E )?
c) Sabiendo que ocurre ( R_0 ), ¿cuál es la probabilidad del suceso ( T_0 )?
d) Sabiendo que ocurre ( R_0 ), ¿cuál es la probabilidad del suceso ( E )?
Solución:
a) Aplicamos el teorema de las probabilidades totales:
[
P(R_0) = P(R_0 / T_0) \cdot P(T_0) + P(R_0 / T_1) \cdot P(T_1) = 0.8 \cdot 0.5 + 0.1 \cdot 0.5 = 0.45
]
b) Aplicamos el teorema de las probabilidades totales para ( E ):
[
P(E) = P(E / T_0) \cdot P(T_0) + P(E / T_1) \cdot P(T_1) = P(R_1 / T_0) \cdot P(T_0) + P(R_0 / T_1) \cdot P(T_1) = 0.2 \cdot 0.5 + 0.1 \cdot 0.5 = 0.15
]
c) Aplicamos el teorema de Bayes:
[
P(T_0 / R_0) = \frac{P(R_0 / T_0) \cdot P(T_0)}{P(R_0)} = \frac{0.8 \cdot 0.5}{0.45} = \frac{8}{9}
]
d) Conociendo ( R_0 ), el error se producirá si se transmitió 1:
[
P(E / R_0) = P(T_1 / R_0) = 1 – P(T_0 / R_0) = 1 – \frac{8}{9} = \frac{1}{9} \approx 0.1111
]
Si necesitas más detalles sobre algún problema específico, no dudes en indicarlo.